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원주율과 적분

수학 2011.04.15 13:00
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개요
  • 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
  • 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 삼각함수의 이론 없이도 정의할 수 있다 (periods)
  • 가정들

    • 초등학교에서 배운 원주율의 기하학적 정의는 잊자. (곡선의 길이 개념은 미적분학을 통해 정의된다)
    • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
    • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.

      • 다항식의 미분, \sqrt{x}의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등

 

 

 

단위원의 둘레의 길이와 적분

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 x^2+y^2=1을 이용하자.  y=\sqrt{1-x^2}를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\frac{1}{2}\int _cds= 로 표현된다.

원주율은 \pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx 로 정의된다.

 

 

 

단위원의 면적과 적분

단위원의 면적은 4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \pi가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx= 를 보이면 된다.

 

(증명)

\frac{d}{dx} \left(x \sqrt{1-x^2}\right) = 2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=

4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=

따라서 단위원의 면적은 4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx= 가 된다. ■

 

 

 

재미있는 사실

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  • 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

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문제의 서술

중심이항계수(central binomial coefficient)란 

{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}

꼴의 이항계수를 말한다. 

 

잘 알려진 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 일반항은

c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}

으로 주어지는데, 중심이항계수가 등장함을 볼 수 있다. 

 

 

1978년 아페리가 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 를 증명할 때, 중심이항계수가 들어간 급수

\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}

를 중요하게 사용하였다. 

 

 

Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient'[Lehmer1985] 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다. 

 

그 중 몇가지는 다음과 같다. 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}

 

이들은 다음과 같은 역삼각함수의 멱급수표현에 몇가지 다른 것을 더하여 유도가 가능하다. 

2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}

 

 

이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 원주율(파이,π)가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다. 

 

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067

 

그리고 일반적으로 자연수 k\in\mathbb{N}에 대하여,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b , (a와 b는 유리수)

가 성립하며, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사라는 것을 언급하는데, 그 이유에 대해서는 별다른 설명과 참고문헌을 제시하지 않는다. 

 

다음을 보자. 

\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots

\frac{355}{133}=3.1415929203539823008849557522123893805309734513274336283185\cdots

\frac{2807\cdot2}{1787}=3.1415780637940682708449916060436485730274202574146614437604\cdots

\frac{26259\cdot 2}{16717}=3.1415923909792426870850032900640066997667045522521983609499\cdots

\frac{719718067}{229093376}=3.141592653468950581967066564159410702472689563926981459298\cdots

 

355/113이  원주율(파이,π) 에 가까우므로, 355의 두 배에 매우 가까울 것임을 생각할 수 있고, 실제로 다음과 같은 재미있는 식을 얻을 수 있다. 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355=709.9999698556466359462787\cdots \approx 710

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^4*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

 

왜 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b

에서, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사가 되는 것일까?

아시는 분은 알려주시길... 

 

 

 

재미있는 사실
  • 숫자 163 에 등장하는 다음 식들과는 관계가 없(을 것이)다.

    \large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744

    e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744

 

 

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간단한 소개

여러집합의 벤다이어 그램 그리기에 대하여 생각해 보겠습니다.

 

두 집합의 벤다이어 그램은 그리기 쉽습니다.

 

 

 

이 그림 위에다가 세 집합의 벤다이어그램을 그려봅시다. 어떻게 생겼는지는 사실 다 알고 있지만, 다음과 같은 순서로 해보겠습니다.

서로 다른 교집합마다 숫자를 붙입니다.

2 venn_2.jpg

그 다음, 집합의 밖에서부터 숫자들을 지나면서 집합을 관통하도록 선을 계속 잇습니다.

 

이렇게 하면 다음처럼, 세 집합의 벤다이어그램을 그릴 수 있습니다.

 

그럼 이제 여기서 네 집합의 벤다이어 그램을 그려봅시다. 이게 처음 해 보려 하면 약간 골치가 아플 수 있습니다. 안해보신 분들은 아래를 보기전에 한번 직접 시도해보세요~

3venn_1.jpg

각 교집합에 1부터 7까지 숫자를 적되, 경계를 공유하는 집합들끼리 숫자가 연속되도록 적습니다. 그리고 처음의 숫자와 마지막 숫자는 반드시 바깥에 있는 녀석들이어야 하겠죠?

 

 

그 다음 다시 밖에서부터, 숫자들과 집합의 경계를 관통하면서 선을 그으면, 네 집합의 벤다이어그램도 완성!

 

이 방법을 쓰면, 다섯개집합의 벤다이어그램도 그릴 수 있습니다. 한번 도전해 보시렵니까? 결국 일종의 미로찾기 게임이 되어버린다능...

 

 

재미있는 사실

 

 

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관련도서 및 추천도서
  • Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams
    • A.W.F. Edwards (2004), Johns Hopkins University Press
  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
    • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
  • 도서검색

    • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
    • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

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