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중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제

수학 2010/07/30 21:56

이 항목의 스프링노트 원문주소

중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제

문제의 서술

중심이항계수(central binomial coefficient)란

${2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$

꼴의 이항계수를 말한다.

잘 알려진 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 일반항은

$c_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}$

으로 주어지는데, 중심이항계수가 등장함을 볼 수 있다.

1978년 아페리가 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 를 증명할 때, 중심이항계수가 들어간 급수

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}$

를 중요하게 사용하였다.

Lehmer는 아래에 링크되어 있는 'Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient'[Lehmer1985] 를 통하여 중심이항계수가 등장하는 다양한 급수를 소개한 바 있다.

그 중 몇가지는 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}$

이들은 다음과 같은 역삼각함수의 멱급수표현에 몇가지 다른 것을 더하여 유도가 가능하다.

$2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$

이 글에서 Lehmer는 중심이항계수와 함께 원주율(파이,π)가 등장하는 다음과 같은 식들을 소개한다.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067$

그리고 일반적으로 자연수 $k\in\mathbb{N}$ 에 대하여,

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b$ , (a와 b는 유리수)

가 성립하며, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사라는 것을 언급하는데, 그 이유에 대해서는 별다른 설명과 참고문헌을 제시하지 않는다.

다음을 보자.

$\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots$

$\frac{355}{133}=3.1415929203539823008849557522123893805309734513274336283185\cdots$

$\frac{2807\cdot2}{1787}=3.1415780637940682708449916060436485730274202574146614437604\cdots$

$\frac{26259\cdot 2}{16717}=3.1415923909792426870850032900640066997667045522521983609499\cdots$

$\frac{719718067}{229093376}=3.141592653468950581967066564159410702472689563926981459298\cdots$

355/113이 원주율(파이,π) 에 가까우므로, 355의 두 배에 매우 가까울 것임을 생각할 수 있고, 실제로 다음과 같은 재미있는 식을 얻을 수 있다.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355=709.9999698556466359462787\cdots \approx 710$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^4*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

왜

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b$

에서, b/a는 원주율(파이,π) 의 유리수 근사가 되는 것일까?

아시는 분은 알려주시길...

재미있는 사실

숫자 163 에 등장하는 다음 식들과는 관계가 없(을 것이)다.

$\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744$

$e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744$

여러집합의 벤다이어그램 그리기

수학 2009/12/12 18:42

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여러집합의 벤다이어그램 그리기

간단한 소개

여러집합의 벤다이어 그램 그리기에 대하여 생각해 보겠습니다.

두 집합의 벤다이어 그램은 그리기 쉽습니다.

이 그림 위에다가 세 집합의 벤다이어그램을 그려봅시다. 어떻게 생겼는지는 사실 다 알고 있지만, 다음과 같은 순서로 해보겠습니다.

서로 다른 교집합마다 숫자를 붙입니다.

2 venn_2.jpg

그 다음, 집합의 밖에서부터 숫자들을 지나면서 집합을 관통하도록 선을 계속 잇습니다.

이렇게 하면 다음처럼, 세 집합의 벤다이어그램을 그릴 수 있습니다.

그럼 이제 여기서 네 집합의 벤다이어 그램을 그려봅시다. 이게 처음 해 보려 하면 약간 골치가 아플 수 있습니다. 안해보신 분들은 아래를 보기전에 한번 직접 시도해보세요~

각 교집합에 1부터 7까지 숫자를 적되, 경계를 공유하는 집합들끼리 숫자가 연속되도록 적습니다. 그리고 처음의 숫자와 마지막 숫자는 반드시 바깥에 있는 녀석들이어야 하겠죠?

그 다음 다시 밖에서부터, 숫자들과 집합의 경계를 관통하면서 선을 그으면, 네 집합의 벤다이어그램도 완성!

이 방법을 쓰면, 다섯개집합의 벤다이어그램도 그릴 수 있습니다. 한번 도전해 보시렵니까? 결국 일종의 미로찾기 게임이 되어버린다능...

재미있는 사실

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6개 집합의 벤다이어그램
- Joyh의 고품격음악블로그, 2009-3-24
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Posted by 수학노트 편집자일동

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오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

수학 2009/11/29 10:34

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오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

개요

$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}$

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots$

세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음
- 자코비 세타함수의 triple product 공식 참조

오각수

1, 5, 12, 22, 35,...

$\frac{n(3n-1)}{2}$

일반화된 오각수

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots$ 에 등장하는 수
$k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}$ 꼴로 주어짐 ( $j=1,2,3\cdots$ )

증명

자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}$

$q=x^{3/2}$ , $z=-x^{1/2}$ 로 두면, 다음을 얻는다

$\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)$

$\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}$
삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조